حل معادلات تابعی با استفاده از موجک لژاندر و چندجملهایهای لژاندر

مدل سازی مسائل و پدیده های فیزیکی در بسیاری از زمینه های علمی منجر به حل یک معادله تابعی به صورت زیر می شود. ‎$$lu=f,$$‎ که در آن ‎$ l:xlongrightarrow y $‎، ‎$ u $‎ تابع مجهول و ‎$ f $‎ تابعی معلوم است. به دست آوردن شکل بسته جواب برای معادلات تابعی همیشه امکان پذیر نبوده و در بیشتر موارد تقریبا غیر ممکن است. بنابراین باید از روش های تقریبی برای حل این مسائل استفاده کرد. روش های تقریبی که برای حل معادلات تابعی بکار می روند معمولا به دو دسته تقسیم می شوند. دسته اول روش های موضعی‎ltrfootnote{‎local methods}‎ هستند که دامنه تعریف مسأله را به تعداد متناهی زیر دامنه تقسیم می کنند و سپس در هر زیر دامنه جواب مسأله توسط توابع پایه ای مناسب تقریب زده می شود. روش تفاضل متناهی و عناصر متناهی‎ltr‎footnote{‎finite element‎}‎ از جمله مهمترین روش های موضعی هستند. دسته دوم روشهای طیفی‎ltr‎footnote{‎spectral ‎methods}‎ هستند. در روش های طیفی تابع جواب به صورت یک سری از توابع پایه ای در سراسر دامنه تعریف مسأله به صورت زیر تقریب زده می شود: ‎egin{equation*}‎ ‎u(x)=sum_{n=0}^na_nphi_n(x)‎, ‎end{equation*}‎ که در آن ‎$ phi_n(x) $‎ها توابع پایه ای و ‎$ a_n $‎ها ضرایب مجهول هستند که باید با استفاده از شرایط مسأله و توابع پایه ای محاسبه شوند. نکته اساسی در روش های طیفی انتخاب توابع پایه ای و توابع آزمون است. انتخاب توابع آزمون روش های طیفی را از همدیگر متمایز می سازد. با توجه به نوع انتخاب این توابع دو دسته از روش های طیفی عبارتند از روش هم محلی‎ltr‎footnote{‎collocation‎ method}‎ و روش تاو‎ltr‎footnote{‎tau ‎method}‎. در روش هم محلی توابع آزمون از نوع توابع دلتای دیراک است. در روش تاو توابع پایه و توابع آزمون از یک جنس می باشند، این روش برای معادلات غیر خطی قابل کاربرد نیست. در این پایان نامه ما از این دو روش استفاده می کنیم. در فصل دوم این پایان نامه چندجمله ای های لژاندر معرفی می شوند و در فصل سوم با استفاده از این چندجمله ای ها و روش هم محلی جواب های دسته ای از معادلات انتگرال، معادلات دیفرانسل و معادلات با مشتقات جزیی به صورت عددی تقریب زده می شود. در فصل چهارم نظریه موجک ها را بیان و موجک لژاندر را معرفی می کنیم. در فصل پنجم ماتریس عملیاتی مشتق موجک لژاندر را معرفی و از این ماتریس در حل دسته ای از معادلات دیفرانسیل استفاده می شود. در فصل ششم با استفاده از موجک لژاندر دو بعدی و روش هم محلی دسته ای از معادلات با مشتقات جزیی را حل می کنیم. در این پایان نامه روشی جدید برای حل دسته ای از معادلات با مشتقات جزیی ارائه کرده ایم که در مقایسه با روش مرجع ‎latincite{4l}‎ و مرجع ‎latincite{40al}‎ برتری محسوسی هم از لحاظ خطا و هم از لحاظ زمان دارد. به علاوه ماتریس عملیاتی مشتق را برای موجک لژادر دو بعدی ارائه کرده ایم.